MATEMATICAS 1

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PORCENTAJES

En matemáticas, el porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmentetanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.¹ Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:

$32\,% = \; 32 \cdot 0,01$

$32\,% = \; \cfrac{32}{100}$

y, operando:

$32\,% = \; 0.32$

El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

$32\,% \cdot 2000 = \; 0.32 \cdot 2000 = \; 640$

640 unidades en total.

El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país.

El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba «P cento» (c. 1425).

Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y ‱ (por diez mil, también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente.

La fracción común se multiplica por el número que sea necesario para que el denominador sea 100 y se toma el numerador, que será el porcentaje.

Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la operación siguiente:

$\cfrac{1}{10}= \cfrac{10}{100} = 10\,%$

Para obtener un tanto por ciento de un número simplemente se multiplica. Por ejemplo, el 25 % de 150 es $25 \cdot 0,01 \cdot 150 = 37,5$ . Una forma equivalente de tratar esta operación es considerar que se multiplica por la cifra y se divide por cien (pues 0,01 = 1/100).

Alternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla de tres simple directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres: simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjunción con el restado.

$\left . \begin{array}{ccc} 100% & \longrightarrow & 150 \\ 25% & \longrightarrow & x \end{array} \right \} \to \quad x = \cfrac{150 \cdot 25%}{100%} = 37,5$

Por tanto: 37,5 es el 25 % de 150.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

E INVERSA

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o x e y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que
Y = KX

La relación a menudo se denota
Y ∝ X

y la razón constante
K= Y/X
es llamada constante de proporcionalidad.

OTRO CONCEPTO
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción.

Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio

Regla de tres simple directa
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se dé a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción .

Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? . Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.

Regla de tres simple inversa
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud

En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

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SUSECIONES

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término(también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Definición formal

Una sucesión finita $(a_k)$ (de longitud m) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\{1,2,\ldots,r\}\to S$ .

y en este caso el elemento $a_k$ corresponde a $f(k)$ .

Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:

$2,3, 5, 7$

corresponde a la función $f:\{1,2,3,4\} \to \mathbb{P}$ (donde $\mathbb{P}$ es el conjunto de números primos) definida por:

$f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=7$ .

Una sucesión infinita $(a_k)$ con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\N\to S$ .

en donde, de forma análoga, $a_k$ corresponde a $f(k)$ .

PROGRESIONES ARITMETICAS

En matemáticas, una progresión aritmética es una

sucesión de números tales que la diferencia de dos

términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es

una constante, cantidad llamada diferencia de la

progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".

Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9, 11,... es

una progresión aritmética de constante (o diferencia

común) 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión

aritmética de constante "-3".

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

$a_n = a_1 + {(n-1)}{d} \,$

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es $a\,$ y la diferencia común es $d\,$ , entonces el término $n\,$ -ésimo de la sucesión viene dada por

$a + nd\,$ , n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.

$a + (n-1)d\,$ n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.

La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:

$a_1, a_2, a_3,..., a_m,..., a_n\,$ de diferencia $d\,$

tenemos que:

$a_1 = a_1\,$
$a_2 = a_1 + d\,$
$a_3 = a_2 + d\,$
...
$a_{n-1} = a_{n-2} + d\,$
$a_n = a_{n-1} + d\,$

sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:

(I) $a_n = a_1 + (n-1)d\,$

expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos $a_m\,$ y $a_n\,$ ( $m<n\,$ ) de la progresión anterior y pongámolos en función de $a_1\,$ :

$a_m = a_1 + (m-1)d\,$

$a_n = a_1 + (n-1)d\,$

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:

(II) $a_n = a_m + (n-m)d\,$

expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de que la diferencia $d\,$ de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... ( $d=3$ )

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.

Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... ( $d=0$ )

d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.

Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... ( $d=-2$

Interpolar k términos diferenciales entre dos números $a \,$ y $b \,$ dados, es formar una progresión aritmética de $k+2 \,$ términos, siendo $a \,$ el primero y $b \,$ el último. El problema consiste en encontrar la diferencia $d\,$ de la progresión.

Apliquemos (II), $a_n = a_m + (n-m)d \,$ , teniendo en cuenta que $a = a_m \,$ , $b = a_n \,$ , $n = k+2 \,$ y $m = 1 \,$ :

$b = a + (k+2-1)d \,$

$b = a + (k+1)d \,$

de dónde, si despejamos d:

(III) $d = \frac{b-a}{k+1} \,$

Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según (III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3

$d = \frac{14-2}{3+1} \,$

$d = 3 \,$

Los términos a interpolar serán $a_2 = 5 \,$ , $a_3 = 8 \,$ , y $a_4 = 11 \,$ .

Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:

2, 5, 8, 11, 14

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POLINOMIOS DE UNA VARIABLE

En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)¹² ³ es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

PRODUCTOS NOTABLES

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

El resultado de multiplicar un binomio $a+b$ por un término $c$ se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: $ca$ y $cb$

Ejemplo:

$3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Un trinomio de la expresión siguiente: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

Simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$

Ejemplo:

$(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

Agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

Luego:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$ 7

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,$

Ejemplo:

$(3x+5y)(3x-5y) = \,$

$(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

Agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

DEFINICION FORMAL

1ª acepción. Concepto formal son los conceptos que no se tienen contenido material alguno. No significan sino una forma aplicable a multitud de cosas.

Todos los conceptos son universales, tienen algo de formal, pero son aplicables a una sola clase de objetos.

Los conceptos formales suponen una total generalidad de objetos sin determinar, incluso indeterminables, por eso se consideran sin contenido y, por tanto, formales.

Los ejemplos más comunes son los números: "2" no tiene contenido material alguno, y sólo cuando se le aplica a objetos adquiere contenido, 2 mesas.

Las fórmulas matemáticas y lógicas representan ejemplos de conceptos formales $ax+by=c$ .

En el lenguaje ordinario usamos algunas palabras como conceptos formales por su aplicabilidad a cualquier cosa. "Ser", "ente", "cosa", "algo", son formales siempre que no determinen un contenido.

Los términos gramaticales que establecen las relaciones entre las palabras pueden considerarse también conceptos formales: conjunciones y preposiciones.

2ª acepción. Francisco Suárez distinguió entre concepto formal y concepto objetivo. Esta distinción ha tenido éxito entre los escolásticos de todo signo.

El concepto formal es el concepto de la mente, es decir, lo que la mente crea para representarse un objeto. Por el contrario, el concepto objetivo es, justamente, el contenido, u objeto, del concepto formal. El concepto formal es una realidad psicológica. El concepto objetivo es un signo formal que representa de manera natural el objeto.

OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS

· SUMA Y RESTA

Solo se pueden sumar y restar cosas iguales, por ejemplo: manzanas con manzanas; metros con metros; pesos con pesos, etc.

Los ejemplos anteriores se relacionan con el hecho de que sólo se pueden sumar o restar términos que sean semejantes.

SUMAR: significa que respetes el signo de cada término que se coloca después del símbolo de suma.

RESTA: significa que debemos cambiar por el inverso aditivo el coeficiente del término que está después del símbolo de resta.

EJEMPLOS:

(3x+4y-5z) + (-3y+3z+x)

Primero se identifican los términos semejantes

Después se realiza ya sea suma o resta para obtener el producto final

RESULTADO: 4x+y-2z

(-2b+4c-5a) + (-a+2b+2c)= -6a+6c

· PRODUCTO

Se multiplicará cada término del primer polinomio por el otro polinomio.
Se tendrá en cuenta los signos para que el resultado sea el adecuado.

EJEMPLOS:

(2x-3y) ()= -

Se multiplica primero el 2x por los términos del otro polinomio y después el -3y

() ()= -

· COCIENTE

Para resolver este tipo de divisiones es necesario el uso de la galera, pues no existe otra forma posible para su resolución.

Ordenar el dividendo (va dentro de la galera), según las potencias descendentes (de mayor a menor) de una misma literal que aparezca en ambos polinomios.
Si el dividendo no cuenta con todas sus potencias continuas, debemos dejar un espacio en blanco en donde éstas falten.
Para obtener el primer termino del cociente, dividimos el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor.
Multiplicamos este primer término del cociente por todo el divisor y se resta algebraicamente del dividendo.
El residuo obtenido se trata como un nuevo dividendo y se repiten los pasos 3 y 4.
Continuamos con este proceso, hasta que en el residuo el exponente de la literal que escogimos sea menor que el exponente de la misma literal en el divisor.

Para sumar dos polinomios se suman

los coeficientes

de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al

minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado

el mismo del polinomio y como

coeficientes el producto de

los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos

y cada uno de

los monomios que forman

el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio

por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo

grado es la suma

de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar

polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8 Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo.

Si el polinomio no es completo dejamos huecos

en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos

el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo

entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término

del polinomio

divisor por el resultado anterior y lo restamos

del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer

monomio del dividendo

entre el primer monomio del divisor.

Y el resultado lo

multiplicamos por el divisor y lo

restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que

el del divisor y por tanto no se

puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio

de la forma x — a,

entonces utilizamos un método más

breve para hacer la división,

llamadoregla de Ruffini.

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x⁴ −3x² +2) : (x −3)

1Si el polinomio no es completo, lo

completamos

añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del

dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos

el opuesto del

término independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el

primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor

y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado

inferior en una unidad al dividendo y cuyos

coeficientes son los que hemos obtenido.

x³ + 3 x² + 6x +18

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

1Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² +5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x² − 1) + ( x³ − 3x² + 6x − 2) =

= x³ − 3x² + 4x²+ 6x − 2 − 1 =

= x³ + x²+ 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x² − 1) − (x² + 2) =

= 4x² − 1 − x² − 2 =

= 3x² − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x² − 1) + (6x² + x + 1) =

= 4x² + 6x² + x − 1 + 1 =

= 10x² + x

42P(x) − R (x) =

= 2(4x² − 1) − (6x² + x + 1) =

= 8x² − 2 − 6x² − x − 1 =

= 2x² − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2x² + 4 ) + (3/2x² +5 ) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 3/2 x²+ x² + 4 + 5+ 2 =

= 3x² + 11

6S(x) − T (x) + U(x) =

= (1/2x² + 4) − (3/2x² +5) + (x² + 2) =

= 1/2x² + 4 − 3/2x² − 5 + x² + 2 =

= 1

2Dados los polinomios:

P(x) = x⁴ − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x⁴ −2 x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x⁴ −2x² − 6x − 1) + (x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ − 2x − 2) =

= x⁴ −2x² − 6x − 1 + x³ − 6x² + 4 − 2x⁴ + 2 x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + x³ −2x² − 6x² − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =

= −x⁴ + x³ − 8x² − 4x + 5

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

=(x⁴ −2x² − 6x − 1) + 2(x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ −2 x − 2)=

= x⁴ − 2x² − 6x − 1 +2x³ − 12x² + 8 − 2x⁴ + 2 x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + 2x³ −2x² − 12x² − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x⁴ + 2x³− 14x² − 4x + 9

Q(x)+ R(x) − P(x)=

= (x³ − 6x² + 4) + ( 2x⁴ −2 x − 2) − (x⁴ −2x² − 6x − 1) =

= x³ − 6x² + 4 + 2x⁴ −2 x − 2 − x⁴ +2x² + 6x + 1=

= 2x⁴− x⁴ + x³ − 6x² +2x² −2 x + 6x + 4− 2 + 1=

= x⁴+ x³ − 4x² + 4x + 3

1(x⁴ −2x² +2 ) · (x² −2x +3) =

= x⁶−2x⁵ + 3x⁴ − 2x⁴ + 4x³ − 6x² + 2x²− 4x +6=

= x⁶ −2x⁵ − 2x⁴ + 3x⁴ + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x +6 =

= x⁶ −2x⁵ + x⁴ + 4x³− 4x² − 4x + 6

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x +2) =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 3x³ + 6x² − 10x⁴ − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 10x⁴ − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 2x⁴ − 23x³ + 11x² − 10x

3 (2x² − 5x + 6) · (3x⁴ − 5 x³ − 6 x²+ 4x − 3) =

= 6x⁶− 10x⁵− 12 x⁴ + 8x³ − 6 x² −

− 15x⁵ + 25x⁴ + 30x³ − 20x²+ 15x +

+18x⁴ − 30x³ − 36x² + 24x − 18 =

= 6x⁶− 10x⁵− 15x⁵ − 12 x⁴ + 25x⁴ + 18x⁴ +

+8x³ − 30x³ + 30x³− 6 x²− 20x² − 36x² + 15x + 24x − 18 =

= 6x⁶− 25x⁵ + 31x⁴ + 8x³ − 62x² + 39x − 18

3Dividir los polinomios:

1(x⁴ − 2x³ −11x²+ 30x −20) : (x² + 3x −2)

2(x⁶+ 5x⁴ + 3x² − 2x) : (x² − x + 3)

3 P(x) = 2x⁵ + 2x³ −x − 8 Q(x) = 3x² −2 x + 1

4 Dividir por Ruffini:

1 (x³ + 2x +70) : (x+4)

2(x⁵ − 32) : (x − 2)

C(x) = x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16 R= 0

3 (x⁴ −3x² +2 ) : (x −3)

C(x) = x³ + 3 x² + 6x +18 R= 56

PRODUCTOS NOTABLES

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocam El resultado de multiplicar un binomio $a+b$ por un término $c$ se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: $ca$ y $cb$

Ejemplo:

$3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

Cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Un trinomio de la expresión siguiente: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

Simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$

Ejemplo:

$(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

Agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

Luego:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$

Producto de dos binomios conjugados

Véase también: Conjugado (matemática).

Producto de binomios conjugados.

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,$

Ejemplo:

$(3x+5y)(3x-5y) = \,$

$(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

Agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,$

$(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,$

Ejemplo:

$(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,$

Multiplicando los monomios:

$(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,$

$+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,$

$+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,$

Agrupando términos:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,$

Luego:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,$

FACTORIZACION DE

TRINOMIOS

Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma

+2ab+b2

Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:

1.- Identificar los dos términos que son cuadrados perfectos obteniéndoles su

raíz cuadrada.

2.- El tercer término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los

dos términos del punto anterior.

Si se tiene al trinomio

+2ab+b2

se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos

el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos

anteriores

2ab

Por lo tanto a

+2ab+b2

es un trinomio cuadrado perfecto. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOM

matematicas 1

lunes, 30 de septiembre de 2013

MATEMATIAS BLOQUE 4

Definición formal

Una sucesión finita $(a_k)$ (de longitud m) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

Resta de polinomios

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Multiplicación de polinomios

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

División por Ruffini

Resolver por la regla de Ruffini la división:

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

Cuadrado de un binomio

Producto de dos binomios con un término común

Producto de dos binomios conjugados

Polinomio al cuadrado

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Una sucesión finita (de longitud m) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

Resta de polinomios

Multiplicación de polinomios

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Multiplicación de un monomio por un polinomio

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División por Ruffini

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